Uma Introdução à Teoria do Investimento

© William N. Goetzmann
YALE School of Management

Traduzido por L.A. Bertolo
FAFICA - Departamento de Ciências Contábeis

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Capítulo II: A Geografia da Fronteira Eficiente


No capítulo anterior, nós vimos como o risco e o retorno de investimentos podem ser caracterizados por medidas de tendência central e medidas de variação, i.e. média e desvio padrão. Na realidade, a estatística é o fundamento das finanças modernas, e virtualmente todas as inovações financeiras dos últimos trinta anos, amplamente denominadas " Teoria do Portfolio Moderno" , foi baseada em modelos estatísticos. Por causa disto, é útil revisar o que é uma estatística, e como ela se relaciona ao problema de investimento. Em geral, uma estatística é uma função que reduz uma grande quantia de informação a uma quantidade pequena. Por exemplo, a média é um número único que resume a "localização" típica de um conjunto de números. A estatística reduz muita informação a alguns números úteis--como tal, eles ignoram uma grande transação. Antes da teoria do portfolio moderna, a decisão sobre se incluir um título em uma carteira estava principalmente baseada na análise fundamental da empresa, suas demonstrações financeiras e sua política de dividendo. O professor de finanças Harry Markowitz começou uma revolução sugerindo que o valor de um título para um investidor poderia ser avaliado melhor por sua média, seu desvio-padrão, e sua correlação a outros títulos da carteira. Esta sugestão audaciosa chegou a ignorar muita informação sobre a empresa--seus salários, sua política de dividendo, sua estrutura de capital, seu mercado, seus competidores--e calculando algumas poucas estatísticas simples. Neste capítulo, seguiremos nós a direção de Markowitz e veremos onde a tecnologia da teoria de portfolio moderna nos levará.


I. O Risco e o Retorno dos Títulos

A grande perspicácia de Markowitz era que as informações relevantes sobre os títulos podem ser resumidas através de três medidas: a média do retorno (tomada como a média aritmética), o desvio-padrão dos lucros e a correlação com os outros retornos dos ativos. A média e o desvio-padrão podem ser usados para delinear o risco relativo e o retorno de qualquer seleção de títulos. Considere seis classes de ativos:

(Cortesia Ibbotson Associates)


Esta figura foi construída usando o risco histórico e dados de retorno das Small Stocks, ações S&P, Bonds Corporativos, Bonds do Governo, e um índice acionário internacional chamado MSCI, ou Morgan Stanley Capital International World Portfolio. A figura mostra a dificuldade que um investidor enfrenta face a qual ativo escolher. Os eixos do gráfico delineiam o desvio-padrão anual de lucros totais, e a média anual dos retornos do período 1970 até 3/1995. Note que ações pequenas provêem o retorno mais alto, mas com o risco mais alto. Em qual classe de ativos escolheria você para investir seu dinheiro? Há qualquer classe única de ativos que domina o resto? Note que um investidor que prefere uma baixa estratégia de risco escolheria T-Bills, enquanto um investidor que não se preocupa com risco escolheria Small Stocks. Não há nenhum título que seja melhor para TODOS os investidores.


II. Portfolios de Ativos

Tipicamente, a resposta para o problema de investimento não é a seleção de um ativo acima de todos os outros, mas a construção de uma carteira de ativos, i.e. diversificação por vários títulos diferentes. A chave para diversificação está na correlação dos títulos. Lembre-se da análise de dados e estatísticas que o coeficiente de correlação é um valor entre -1 e 1, e mede o grau de co-movimento entre duas variáveis aleatórias, neste caso os lucros de ação. É calculado como:


Onde o sigma AB é a covariância dos dois títulos. Aqui está como usar a correlação no contexto da construção do portfolio. Considere dois títulos, A e B. O título A has uma média de 10% e um desvio-padrão de 15%. O título B tem uma média de 20% e um desvio-padrão de 30%. Podemos calcular o desvio-padrão de um portfolio composto de diferentes misturas de A & B usando esta equação:


O retorno médio não é tão complicado. É uma simples média ponderada das médias dos dois ativos:
médiap = W A RA + W B R B. Note que um portfolio terá tipicamente um peso de um, assim usualmente, W A + W B = 1.

  • O que acontece se a correlação de A&B = 0 ? Note que uma carteira de 80% A e 20% B tem um desvio padrão de: of: sqrt(0,82*0,152+0,22 0,32+2*0*0,8*0,2*0,15*0,3) = 13,4 %

    Em outras palavras, a mistura de 20% dos TÍTULOS DE MAIORES RISCOS realmente diminuem a volatilidade da carteira! Este é um resultado notável. Ele significa que você pode reduzir o risco e aumentar o retorno pela diversificação dos ativos.

  • O que acontece se a correlação de A&B = 1 ? Neste caso, a perfeita correlação entre os dois ativos significa que não existe diversificação. O desvio padrão da carteira de um mix de 80/20 é 18%. Isto é igual a combinação linear dos desvios padrões: (.8)(.15)+(.2)(.30) = 18%

  • O que acontece se a correlação de A&B = -1 ? Este é um caso não usual, porque significa que quando A move-se oara cima, B sempre move-se para baixo. Tome uma mistura de 0,665 A e(1-0,665) B. sqrt(0,6652*0,152+(1-0,665)20,32+2*0*(0,665)*(1-0,665)*0,15*0,3) = 0,075%, que está muito próximo de zero. Em outras palavras, A é aproximadamente um perfeito hedge para B. Umas das poucas correlações negativas da vida real que você encontrará é a short position de ações compensando a the long position. Neste caso, desde que os retornos médios também são os mesmos, o retorno esperado será zero. Estes extremos dos valores da correlação permite-nos descrever um envelope dentro do qual todas as combinações dos dois ativos cairão, apesar de suas correlações.


    (Cortesia Campbell Harvey)


    III. Mais Títulos e Mais Diversificação

    Agora considere o que acontecerá quando você põe mais ativos na carteira. Tome o caso especial no qual a correlação entre todos os ativos é zero, e todos eles tenham o mesmo risco. Você achará que pode reduzir o desvio padrão da carteira misturando vários ativos em lugar de apenas dois. Cada ponto representa uma combinação de ativos igualmente ponderada; de uma única ação para duas, para três, para trinta, e mais. Note que, depois de 30 ações, a diversificação na maior parte é atingida. Há ganhos enormes para diversificação além de uma ou duas ações.

    (Cortesia Campbell Harvey)

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    Se você se permitir variar os pesos da carteira, em lugar de os manter igual, os benefícios serão maiores, porém a matemática é mais desafiadora. Você não só tem que calcular o desvio padrão da mistura entre A&B, mas o desvio padrão de toda mistura concebível dos títulos. Não obstante, se você fizer assim, você achará que há um conjunto de carteiras para as quais provêem o mais baixo nível de risco para cada nivel de retorno, e o nível mais alto de retorno para cada nivel de risco. Considerando todas as combinações de ativos, um conjunto especial de carteiras sobressairá--este conjunto é chamado de fronteira eficiente.

    A fronteira eficiente, mostrada em azul, é o conjunto de dominantes, pelo menos da perspectiva de um investidor averso ao risco. Para QUALQUER nível de risco, a fronteira eficiente identifica um ponto que é a carteira de retorno mais alta na sua classe de risco. Justamente por isso, para qualquer nível de retorno, a fronteira identifica a carteira de mais baixo de risco naquela classe de retorno. Note que ela extende da carteira de retorno máximo (geralmente um único ativo) à carteira de variância mínima. A fronteira eficiente tem uma carteira para todo mundo -- existem infinitos números de pontos no conjunto, correspondendo às variações infinitas nas preferências dos investidores ao risco. A área chamada conjunto provável representa todas as combinações prováveis de ativos. Não existem ativos que ficam de fora do conjunto provável.


    IV. Markowitz e a Primeira Fronteira Eficiente

    A primeira fronteira eficiente foi criada por Harry Markowitz, usando um punhado de ações da New York Stock Exchange. Aqui está ela, reproduzida do seu livro Portfolio Selection Cowles Monograph 16, Yale University Press, 1959. Ela tem uma linha indo para a origem, porque Markowitz estava interessado nos efeitos da combinação dos ativos de risco com os sem risco: caixa.

    [FRONTIER]

    Note, também, que é inclinado para o seu lado. A convenção do Desvio-Padrão sobre o eixo X é desenvolvida mais tarde.


    V. Uma Fronteira Eficiente Real Hoje

    Esta figura é uma fronteira eficiente criada dos depósitos históricos dos U.S.A. e ativos internacionais durante o período de 1970 até 3/1995, usando o programa Ibbotson EnCorr Optimizer.

    (Cortesia Ibbotson Associates)

    Isto é o estado de arte da tecnologia de seleção de carteiras, entretanto ainda está baseado no programa de otimização original de Markowitz. Existem algumas características básicas para se lembrar:


    VI. A Fronteira Eficiente com os Ativos Sem Risco

    T-Bills são freqüentemente tomados como ativos sem riscos, e seu retorno é indicado como Rf, a taxa livre de risco. Uma vez que você permite combinar o ativo sem risco em uma carteira, a fronteira eficiente pode mudar. Considerando que é sem risco, ele não tem nenhuma correlação aos outros títulos. Assim ele não fornece diversificação,per se. Ele fornece uma oportunidade para ter uma carteira de baixo risco, entretanto. Esta figura é um diagrama da fronteira eficiente composta de TODOS os ativos de risco na economia, como também dos ativos sem riscos.

    (Cortesia Campbell Harvey)

    Neste caso especial, a nova fronteira eficiente é um raio, estendendo de Rf ao ponto de tangência (M) com a fronteira "ativo de risco" eficiente, e daí por diante. Esta linha é chamada a Capital Market Line (CML). É de fato um conjunto de carteiras investíveis, se você pudesse pedir emprestado e emprestar à taxa sem risco! Todas as carteiras entre Rf e M são carteiras compostas de contas de tesouraria e M, enquanto todas as carteiras à direita de M são geradas PEDINDO EMPRESTADO à taxa sem risco Rf e investindo os rendimentos em M.


    VII. Sumário

    O modelo de Markowitz foi uma inovação brilhante na ciência de seleção de carteira. Com quase um toque de mão desarmada, Markowitz mostrou para nós que todas as informações necessárias para escolher a melhor carteira para qualquer determinado nível de risco está contido em três estatísticas simples: média, desvio -padrão e correlação. Parece de repente que você nem mesmo precisou de qualquer informação fundamental sobre a empresa! O modelo não requer nenhuma informação sobre política de dividendo, salários, ação de mercado, estratégia, qualidade de administração--nada sobre a miríade de coisas com que os analistas de Wall Street se interessam! Em resumo, Harry Markowitz fundamentalmente alterou como as tomadas de decisões de investimentoeram feitas. Virtualmente todo gerente de carteira principal hoje consulta um programa de otimização. Eles podem não seguir exatamente as suas recomendações, mas eles usam isto para avaliar risco básico e o retorno de transações.

    Por que todo o mundo não usa o modelo de Markowitz para resolver os seus problemas de investimento? A resposta está novamente nas estatísticas. O retorno médio histórico pode ser uma estimativa pobre do retorno médio futuro. Quando você aumenta o número de títulos, você aumenta o número de correlações que você tem de calcular--e você os tem que calcular obter a resposta certa CORRETAMENTE. Na realidade, com mais de 1.500 ações no NYSE, alguém está certo em achar correlações que são largamente inexatas. Infelizmente, o modelo não se trata bem com as contribuições incorretas. Isso é por que é melhor aplicado a decisões de distribuição por classes de ativos para as quais o número de correlações é baixo, e os sumários estatísticos são bem estimados.

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