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GABARITO DOS EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Fator de Acumulação de Capital - Pagamento Simples)

1. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:-R$40.317,60

SOLUÇÃO

Temos:

P = 30.000

n = 10 meses

i = 3% am = 0,03 a . m.

Como:

S = P (1 + i)ⁿ vem S = 30.000 (1 + 0,03)¹⁰

Usando calculadoras temos:

(1 + 0,03)¹⁰ = 1,34392 Þ S = 30.000 x 1,34392 = 40.317,60

2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,80

SOLUÇÃO

Temos:

P = 20.000

n = 35 meses

i = 3,5% a . m. = 0,035 a . m.

Daí,

S = 20.000 (1 + 0,035)³⁵ = 20.000 (1,035)³⁵ = 20.000 (3,33359) ou

S = 66.671,80

3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,00

SOLUÇÃO

Temos:

P = 50.000

n = 4 meses

i = 2,25% a . m. = 0,0225 a . m.

Com isso,

S = 50.000 (1 + 0,0225)⁴ = 50.000 (1,0225)⁴ = 50.000 (1,09308)

S = 54.654,00

4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. Resp:- R$ 9.237,24

SOLUÇÃO

Temos:

P = 8.200

n = 8 meses

i = 1,5% a . m. = 0,015 a . m.

Aplicando na fórmula, ficamos:

S = 8.200 (1 + 0,015)⁸ = 8.200 (1,015)⁸ = 8.200 (1,1264926)

S = 9.237,24

5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63

SOLUÇÃO

Temos:

P = 75.000

n = 6 meses

i = 2% = % = 2,75% a . m.

Aplicando na fórmula, vem:

S = 75.000 (1 + 0,0275)⁶ = 75.000 (1,0275)⁶ = 75.000 (1,1767684)

S = 88.257,63
6. Qual o FV produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48

SOLUÇÃO

Temos:

PV = 12.000

n = 40 meses

i = 2% = 0,02 a . m.

Aplicando na fórmula, temos

S = 12.000 (1 + 0,02)⁴⁰ = 12.000 (1,02)⁴⁰ = 12.000 (2,2080397)

S = 26.496,48
MAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

7. Uma empresa empresta R$ 500.000,00 de um banco cuja taxa de juros é de 21% a .a.,com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao fim de 2 anos?

SOLUÇÃO

500.000 1 ano 2 anos

s = ?

P = 500.000 i = 7% a.q. n = 6 quadrimestres S = ?

S = P (1 + i)ⁿ = 500.000 (1 + 0,07)⁶ = 500.000 (1,500730) = 750.365,00

8. Ao resgatar um título, após 6 meses da aplicação, o investidor recebeu R$ 25.083,86. Tendo sido informado de que este montante incluía R$ 3.083,86 referentes aos juros creditados, deseja-se saber que taxa anual de juros ganhou?

SOLUÇÃO

S = 25.083,86 J = 3.083,86 n = 6 meses ou 1 semestre ou ½ anos

P = S - J = 25.083,86 - 3.083,86 = 22.000

25.083,86 = 22.000 (1 + i)^½ Þ (1 + i)^½ = (25.083,86/22.000) = 1,1401755

1 + i = (1,1401755)² Þ 1 + i = 1,30 ou i = 30% a.a.

9. O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada em até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo?

SOLUÇÃO

Devemos inicialmente descobrir que taxa está sendo cobrada na operação; a seguir podemos compará-la com a taxa de mercado.

P = 2.000 (1 - 0,10) = 1.800 ....valor à vista

S = 2.000

n = 3 meses ou 1/4 anos.

2.000= 1.800 (1 + i)^1/4 Þ 1 + i = (2.000/1.800)⁴ = 1,5241579

i = 52,41 a.a.

A loja está, portanto, cobrando 52,41% ao ano, taxa esta que é superior à de mercado (40% a.a.). Donde se conclui que a melhor alternativa é comprar à vista.

9. O Senhor X abre uma poupança depositando R$ 2.000,00. Daqui a 2 meses o Senhor X deve fazer um depósito de R$2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar da poupança R$ 1.300,00. Qual deverá ser o saldo da poupança ao final do 5º mês se a taxa de juros composta ganha for de 15% a.m.?

SOLUÇÃO

P = R$2.000,00 P₂ = R$2.500,00 R₄ = R$1.300,00 i = 15% a.m. S = ?

Esquematicamente:

R$1.300 (1,15)

R$2.000

R$2.500 S=?

(1,15)³

(1,15)⁵

No problema, devemos encontrar o saldo no 5º mês. Para tanto, deve-se capitalizar os dois depósitos e o saque até o quinto mês (data focal). Assim, o montante ou saldo no quinto mês será:

S = 2.000 x (1,15)⁵ + 2.500 x (1,15)³ - 1.300 x (1,15)¹.

S = 2.000 x 2,01136 + 2.500 x 1,52088 - 1.300 x 1,15 = R$ 6.329,92

O primeiro depósito de R$2.000 é capitalizado durante 5 meses (período de tempo que vai desde o dia do depósito até o final do 5º mês). O segundo depósito é capitalizado durante 3 meses (período compreendido desde o dia do depósito até o final do 5º mês). O saque será capitalizado durante 1 mês só (com sinal negativo por representar uma retirada).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( Fator de Valor Atual )

(Pagamento Simples)

1. Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano? Resp:-R$ 6.209,21

SOLUÇÃO

Temos:

S = 10.000

n = 5 anos

i = 10% a . a . = 0,1 a . a .

Aplicando a fórmula, temos:

P = S (1 + i)^-n Þ P = 10.000 (1 + 0,1)^-5 = 10.000 (1,1)^-5

P = 10.000 ( 0,6209213) = 6.209,21 \ P = 6. 209,21

2. Uma pessoa recebe a proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? Resp:- 3% a . m..

SOLUÇÃO

Temos:

P = 120.000

S = 161.270

n = 10

A fórmula para este caso de um pagamento simples é:
S = P (1 + i)ⁿ Þ 161.270 = 120.000 (1 + i)¹⁰

Þ 1 + i = Þ 1 + i = ()^1/10

1 + i = (1,3439167)^1/10 Þ 1 + i = 1,03 \ i = 0,03 ou 3% a . m.

3. O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 114.563,00. Calcule esse tempo. ·····

SOLUÇÃO

Temos:

P = 87.000

S = 114.563

i = 3,5% a . m. = 0,035 a . m.

Aplicando a fórmula, temos:

114.563 = 87.000 (1 + 0,035)ⁿ Þ = (1 + 0,035)ⁿ

1,3168161 = (1,035)ⁿ Þ n log (1,035) = log (1,3168161)

\ n = 8 meses

MAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

4. Um apartamento é vendido, a vista, por R$ 220.000,00. O comprador por falta de dinheiro naquele momento propõe pagar em uma única parcela após certo período de tempo. O vendedor exige então R$ 61.618,59 como juros, pois trabalha com 2,5% a.m.. Qual é o prazo de financiamento acertado na hipótese acima?

SOLUÇÃO

P = 220.000 i = 2,5% a.m. J = 61.618,59 = S - P = P(1 + i)ⁿ -P ou

J = P [ (1 +i)ⁿ - 1]. Daí

61.618,59 = 220.000 [ (1 + 0,025)ⁿ - 1] Þ {(61.618,59/220.000) + 1} = (1 + 0,025)ⁿ ou 1,2800845 = (1,025)ⁿ

Aplicando logarítmos em ambos os lados, temos:

log (1,2800845) = n log(1,025) Þ 0,107239 = n 0,010724 ou

n = 10 meses

5. Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 24% a.a. com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$ 200.000,00?

SOLUÇÃO